Dodatek 1
Okręgi równowagi
Dane: x — zagłębienie w środku lustra, h — grubość lustra na środku, D — średnica lustra, — średnica otworu w środku lustra.
Założenia:
- Gęstość szkła jest stała.
- Figura górnej powierzchni lustra jest idealną paraboloidą obrotową.
- Nie uwzględniamy fazki na brzegu lustra.
A. Przypadek 3 i 6 punktów (m1 = m2)
W tym przypadku V1 = V2, ale V = V1 + V2, gdzie V jest objętością całej płyty. Z tego wynika, że:
(1)
Z twierdzenia statyki (Pappusa-Guldina) wynika, że V = 2πSx0, a V1 = 2πS1xe, gdzie x0 i xe są odległościami środków ciężkości powierzchni przekrojów poprzecznych S i S1 od środka lustra. Zatem:
(2)
Z kolei z definicji środka ciężkości mamy:
(3)
gdzie granica w liczniku jest momentem statycznym M pola figury S.
Zatem z (1) i (2) uwzględniając (3), mamy:
(4)
Obliczmy momenty M dla S i S1. Równanie opisujące górną krawędź przekroju lustra jest równaniem paraboli: y = kx2, gdzie k = 4h/D2, zatem momenty będą wynosiły odpowiednio:
Dla pola
Dla pola
Wstawiając uzyskane formuły do równania (4) mamy:
Kładąc req2 = ue i porządkując powyższe równanie dostajemy:
(5)
Równanie (5) jest równaniem kwadratowym na zmienną u, więc można je analitycznie rozwiązać:
Interesuje nas pierwiastek dodatni na req czyli:
B. Przypadek dla 3 i 6 punktów z otworem o średnicy
W przypadku gdy w centrum płyty jest otwór, równanie (4) pozostaje w mocy, zmienią się jedynie dolne granice całkowania przy wyliczaniu momentów M a mianowicie:
Dla pola
Dla pola
Odpowiednie równanie kwadratowe, wynikające ze wstawienia powyższych formuł oraz uwzględnieniu równania (4), nieco się skomplikuje:
(6)
Uwzględniając ue = req2 otrzymujemy równanie kwadratowe i możemy obliczyć deltę:
Stąd wyliczamy pierwiastek dodatni, będący rozwiązaniem:
C. Przypadek 9 i 18 punktów dla pełnej płyty m1 = 2m2
Jest to przypadek bardziej skomplikowany, gdyż musimy znaleźć dwa
okręgi równowagi. Postępujemy tutaj dwuetapowo. Najpierw znajdujemy
pośredni okrąg równowagi re z warunku m1 = 2m2, czyli V = 3V1, a co za tym idzie:
(7)
Formuły na M i M1 są identyczne jak w punkcie A artykułu, zmieni się nieco tylko równanie kwadratowe uzyskane z rozpisania formuły (7):
(8)
Delta dla równania (8) wyniesie:
a stąd dodatni pierwiastek na req:
Okrąg o promieniu req dzieli płytę na dwie
podpierane części. W drugim etapie, dla każdej z tych części musimy
wyliczyć jej własny okręg równowagi, zgodnie z założeniem zawartym w
równaniu (1) i w analogiczny sposób jak dla płyty na 3 i 6 punktach. Znajdźmy zatem najpierw promień zewnętrznego okręgu równowagi req2 i wewnętrznego req1 przy obliczonym req.
1. Zewnętrzny okrąg równowagi req2
(9)
Dla pola
Dla pola
Po wstawieniu do wzoru (9) i uporządkowaniu mamy:
(10)
gdzie: u2 = req22; delta dla równania (10) wynosi:
2. Wewnętrzny okrąg równowagi req1
(11)
Dla pola
Dla pola
Kładąc u1 = req12 mamy:
(12)
Delta dla równania (12) wynosi:
D. Przypadek dla 9 i 18 punktów z otworem w płycie o średnicy
W pierwszym etapie jest to sytuacja analogiczna do przypadku B. Równania na momenty będą takie same, jak w B. Zmieni się jedynie równanie kwadratowe na r1 z powodu użycia formuły (7).
(13)
1. Zewnętrzny okrąg równowagi req2
Dla zewnętrznego okręgu równowagi wzory na M i req1 są takie same. Również takie samo jest równanie kwadratowe na req1. Oczywiście liczbowo rozwiązanie będzie inne, ze względu na inną wartość req.
2. Wewnętrzny okrąg równowagi req1
Dla wewnętrznego okręgu równowagi mamy następujące równania na momenty M:
Dla pola
Dla pola
Wstawiając je do równania (11), kładąc req12 = u1 i porządkując, otrzymujemy równanie kwadratowe na u1:
(14)
Lucjan Newelski
Tomasz Krzyt